Coordinate Polari

Al giorno d oggi lo scopo primario della scienza, ed in particolare della fisica, è quello di creare un'unica teoria in grado di spiegare tutto il mondo che ci circonda.

Da questo presupposto è nato lo studio, in cosmologia, della cosiddetta GTU (grande teoria unificata, o teoria quantistica della gravità) e sono nate nuove branche della scienza come lo studio del caos.

Questa volta un, seppur piccolo, passo avanti, viene da quella vecchia signora che non finisce mai di stupirci: la matematica, appunto.

Già due secoli fa, il matematico francese Gabriel Lamé trovò un'unica formula capace di descrivere, al variare di un parametro, sia il cerchio che il quadrato che una serie di figure intermedie, i "supercerchi".

Dalla formula di Lamé, attraverso varie generalizzazioni, si è finalmente arrivati alla formula qui presentata che, al variare di sette parametri, è in grado di descrivere una grande varietà di forme presenti in natura.

Ma quali possibili applicazioni possono derivare da questa scoperta?

La prospettiva più vicina (e reale) è lo sviluppo di software grafici in grado di fare in automatico quello che ora è il risultato di duro lavoro e dell' esperienza dei grafici professionisti.

Per COORDINATE POLARI si intende un sistema di coordinate del piano determinato da un punto O (POLO), una semiretta x (ASSE POLARE) avente origine nel polo O, e un segmento unitario u.

Ad ogni punto P del piano (diverso da O) si associano due numeri p e ø tali che:
p è la misura positiva del segmento OP rispetto all'unità di misura u
ø è la misura in radianti dell'angolo, orientato in senso antiorario, che l'asse x forma con la retta OP

OP

RAGGIO VETTORE

p

MODULO del punto P

ø

ANOMALIA

p e ø

COORDINATE POLARI di P

Supponiamo di far coincidere il polo O con l'origine del sistema cartesiano ortogonale, e l'asse polare x col semiasse positivo delle ascisse.

Consideriamo le coordinate cartesiane e polari del punto P:
(x ; y) coordinate cartesiane
(r ; q) coordinate polari


è evidente che OH = x e HP = y, quindi per il triangolo OHP vale:

OH = OP cosq
HP = OP sinq
cioè:
x = r cosq (1)
y = r sinq (2)

Queste sono le relazioni che intercorrono tra coordinate polari e cartesiane, quindi, date le coordinate polari, (1) e (2) permettono di ricavare le cartesiane (x ; y).
Per il procedimento inverso invece occorre elevare al quadrato:

x2 = r2 cos2q , y2 = r2 sin2q
sommare membro a membro
x2 + y2 = r2 (cos2q + sin2q) = r2
a questo punto si ottiene:


cosq = x/r
sinq = y/r

... ED ECCO LA SUPERFORMULA: